解析函数论(analytic function theory)是 复变函数论的主要研究对象，如果说以测度为基础的实变函数论是研究那些性质不大“好”的函数的话，那么，解析函数论则是研究那些性质非常“好”的函数。解析函数论的理论基础是19世纪奠定的，柯西(A.-L.Cauchy)、外尔斯特拉斯(K.(T.W.Weierstrass))和黎曼((G.F.)B.Riemann)是这一时期的三位杰出人物，前两位分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼则研究了复变函数的映射性质。到20世纪，解析函数论已成为数学的重要分支之一，它的领域不断扩大，逐步发展成了一门庞大的学科，除了解析函数论的基本理论之外，还有黎曼面、共形映射、 拟共形映射、泰希米勒空间理论、整函数与亚纯函数论、特殊函数论、调和函数论、单叶函数、Hp空间理论、代数函数、 多复变函数等.另外，这门学科对其他学科如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等，以及数学中其他分支如微分方程、积分方程、概率论、数论等，都有重要的应用。