哥德巴赫1742年给 欧拉的信中 哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和   。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的 大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。   因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和)欧拉在回信中也提出另一 等价版本，即任一大于2的 偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把 命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年 陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个 半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个 素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于 偶数的 哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。后者称为“ 弱哥德巴赫猜想”或“关于 奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。2013年5月， 巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了 弱哥德巴赫猜想。